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本文将介绍凸函数的概念、性质以及判断凸函数的方法,并通过例题详细讲解。

来源:多谋判断网 2024-07-11 03:00:05

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本文将介绍凸函数的概念、性质以及判断凸函数的方法,并通过例题详细讲解。(1)

一、凸函数的概念

  凸函数是一类在数学经济学中非常重的函数。它的定义如下:

  设$f(x)$在区间$I$上有定义,如果对于意的$x_1,x_2\in I$以及$0\leq\lambda\leq1$,都有:多 谋 判 断 网

  $$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$$

则称$f(x)$在$I$上是凸函数。

  其中,$\lambda$称为权重系数,表示$x_1$$x_2$的权重,满足$\lambda+(1-\lambda)=1$。

凸函数的图像通常是向上凸起的,即在其图像上取两点,连接这两点的线位于图像上方。如下图所示:

  ![凸函数示例图](https://img-blog.csdn.net/20180704211246494?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2FjY291bnRz/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/75)

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二、凸函数的性质

  凸函数具有以下性质:

1. 凸函数的导函数是单调递增的。

  2. 凸函数的二阶导数非负。

  3. 凸函数的局部极小即为全局极小

  4. 凸函数的上凸壳是其下凸壳的上界,下凸壳是其上凸壳的下界。

三、判断多~谋~判~断~网凸函数的方法

判断一个函数是否为凸函数,可以用以下方法:

1. 利用定义判断

定义,对于意的$x_1,x_2\in I$以及$0\leq\lambda\leq1$,都有:

  $$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$$

  如果该式对于所有$x_1,x_2\in I$$0\leq\lambda\leq1$成立,则$f(x)$是$I$上的凸函数。

2. 利用导数判断

  如果$f(x)$在$I$上二阶可导,且$f''(x)\geq0$,则$f(x)$是$I$上的凸函数。

  3. 利用凸组合判断

如果对于意的$x_1,x_2\in I$$0\leq\lambda\leq1$,都有:多_谋_判_断_网

  $$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq\max\{f(x_1),f(x_2)\}$$

  则$f(x)$是$I$上的凸函数。

四、例题解析

  下面通过例题来详细讲解如何判断凸函数。

例题:判断$f(x)=\ln(x)$在$(0,+\infty)$上是否为凸函数。

解析:

  1. 利用定义判断

  对于意的$x_1,x_2\in(0,+\infty)$$0\leq\lambda\leq1$,有:

$$\begin{aligned} f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)&=\ln(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\\ &\leq\ln(\lambda x_1)+(1-\lambda)\ln(x_2)\\ &=\lambda\ln(x_1)+(1-\lambda)\ln(x_2)\\ &=\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2) \end{aligned}$$

因此,$f(x)=\ln(x)$在$(0,+\infty)$上是凸函数。

  2. 利用导数判断

  $f(x)=\ln(x)$在$(0,+\infty)$上一阶导数为$f'(x)=\frac{1}{x}$,二阶导数为$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$。于$f''(x)<0$,因此$f(x)$不是$(0,+\infty)$上的凸函数。

3. 利用凸组合判断

  对于意的$x_1,x_2\in(0,+\infty)$多 谋 判 断 网$0\leq\lambda\leq1$,有:

$$\begin{aligned} f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)&=\ln(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\\ &\leq\ln(\lambda x_1+\lambda x_2)\\ &=\ln(\lambda(x_1+x_2))\\ &=\ln(x_1+x_2)-\ln\frac{1}{\lambda}\\ &\leq\ln x_1+\ln x_2\\ &=\max\{f(x_1),f(x_2)\} \end{aligned}$$

  因此,$f(x)=\ln(x)$在$(0,+\infty)$上是凸函数。

上所述,$f(x)=\ln(x)$在$(0,+\infty)$上是凸函数。

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五、总结

本文介绍了凸函数的概念性质以及判断凸函数的方法,并通过例题详细讲解了如何判断凸函数。凸函数在数学经济学中都有广泛的应用,掌握凸函数的概念判断方法对于理解应用相关知识具有重意义。

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